%
%   Este documento utiliza bastantes paquetes LaTeX. Si te falta alguno,
%   coment� la l�nea \useepackage{paquete} y prob� compilarlo de nuevo.
%
%   Si vas a usar este c�digo como base para crear tu TP, coment� todos los 
%   paquetes que no utilices. (Por ejemplo, si no vas a crear subfiguras, 
%   el paquete subfigure no es necesario).
% 
%   Formato DVI (necesario para convertir a PS y PDF):
%     $ latex tp-generico.tex
%
%     (repetir para que se generen las referencias cruzadas correctamente).
%
%   Formato PDF:
%     $ dvipdf tp-generico.dvi
% 
%     Normalmente podr�as compilar directamente en formato PDF con el 
%     comando pdflatex, pero este documento en particular incluye algunas 
%     im�genes que no pueden ser compiladas de esta forma, por lo que para 
%     generar un pdf se debe hacer el pasaje tex -> dvi -> pdf.
%

%
% Ac� se define el tama�o de letra principal:
%
\documentclass{article}

  

%
% T�tulo y autor(es):
%
\title{Evaluaci\'on Final de Simulaci\'on de Sistemas}
\author{45.288 Brasca, Juan Alejandro\\45.020 Stancato, Lucila\\45.002 Modernell, Dami\'an\\45.418 Negro, Conrado Luis}

%------------------------- Carga de paquetes ---------------------------
%
% Si no necesit�s alg�n paquete, comentalo.
%

%
% Definici�n del tama�o de p�gina y los m�rgenes:
%
\usepackage[a4paper,headheight=16pt,scale={0.8,0.75},hoffset=0.5cm]{geometry}

%
% Vamos a escribir en castellano:
%
\usepackage[spanish, activeacute]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%
% Si prefer�s el tipo de letra Helvetica (Arial), descoment� las siguientes
% dos lineas (las f�rmulas seguir�n estando en Times):
%
%\usepackage{helvet}
%\renewcommand\familydefault{\sfdefault}

%
% El paquete amsmath agrega algunas funcionalidades extra a las f�rmulas. 
% Adem�s defino la numeraci�n de las tablas y figuras al estilo "Figura 2.3", 
% en lugar de "Figura 7". (Por lo tanto, aunque no uses f�rmulas, si quer�s
% este tipo de numeraci�n dej� el paquete amsmath descomentado).
%
\usepackage{amsmath}
\numberwithin{equation}{section}
\numberwithin{figure}{section}
\numberwithin{table}{section}

%
% Para tener cabecera y pie de p�gina con un estilo personalizado:
%
\usepackage{fancyhdr}

%
% Para poner el texto "Figura X" en negrita:
% (Si no ten�s el paquete 'caption2', prob� con 'caption').
%
\usepackage[hang,bf]{caption}

%
% Para poder usar subfiguras: (al estilo Figura 2.3(b) )
%
\usepackage{subfigure}

%
% Para poder agregar notas al pie en tablas:
%
\usepackage{threeparttable}
\usepackage{multirow}
\usepackage{placeins}
\usepackage{float}
\usepackage{lscape}
%------------------------------ graphicx ----------------------------------
%
% Para incluir im�genes, el siguiente c�digo carga el paquete graphicx 
% seg�n se est� generando un archivo dvi o un pdf (con pdflatex). 
%
\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
	\pdffalse
\else
	\pdfoutput=1
	\pdftrue
\fi

\ifpdf
	\usepackage[pdftex]{graphicx}
	\pdfcompresslevel=9
\else
	\usepackage[dvips]{graphicx}
\fi

%
% Todas las im�genes est�n en el directorio tp-img:
%
\newcommand{\imgdir}{tp-img}
\graphicspath{{\imgdir/}}
%
%------------------------------ graphicx ----------------------------------

\usepackage{wrapfig}

%------------------------- Inicio del documento ---------------------------
%%\usepackage{moreverb}
%%\usepackage{alltt}
%%\usepackage{fontenc}
%%\textheight=23.94cm
%%\textwidth=17cm 
\begin{document}
\Large

%
% Hago que en la cabecera de p�gina se muestre a la derecha la secci�n,
% y en el pie, en n�mero de p�gina a la derecha:
%
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{}{\thesection\ \ #1}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.6pt} % Ancho de la línea horizontal sobre el pie (que en este ejemplo está vacío)

\lhead{Simulaci\'on de Sistemas}
\chead{}
\rhead{ITBA}
\lfoot{}
\cfoot{\thepage}
\rfoot{}

%
% Car�tula:
%
\begin{titlepage}

%
% Sin cabecera ni pie de p�gina:
%
	%\thispagestyle{Empty}
%
% Logo de la facu arriba a la izquierda: 	
\begin{figure}
\begin{center}
%\includegraphics[width=6cm]{iag.jpg}
%	\includegraphics{fluxmed1.jpg}
\end{center}
\end{figure}

\vspace{3cm}
% T�tulo:
%
	\begin{center}
		\underline{\Huge{Final de Simulaci\'on de Sistemas}}\\
\vspace{1cm}
	    \huge{Instituto Tecnol\'ogico de Buenos Aires
		\vspace{1cm}
		
}	\end{center}
	\vspace{1.5cm}
%
% Integrantes:
%


\noindent \huge{{\bf}
\\
\Large{{\bf Profesor:}} Alejandro Diaz. \\
\\
  \Large{{\bf Al'umnos:}}
\begin{itemize}
 \item Lucila Stancato \\
\item Conrado Negro \\
\item Damian Modernell \\
\item Juan Brasca 

\end{itemize}
 

	\vfill
% Fecha o cuatrimestre:
  \begin{center}
		\huge{14 de Diciembre de 2009}
	\end{center}
%	\flushright{\Large{ Junio 2009}}
}
\end{titlepage}


%
% Hago que las p�ginas se comiencen a contar a partir de aqu�:
%
\setcounter{page}{1}

%
% Pongo el �ndice en una p�gina aparte:
%

\newpage

%
% Inicio del TP:
%

\newpage


\section*{a)   Modelar el intervalo de tiempo entre arribos, a partir de los datos medidos del archivo
llegadasregistro y modelar el intervalo de tiempo de atenci\'on de la estaci\'on E3 con los
datos del archivo e3registro. Para ello hacer estad\'istica descriptiva, justificando el n\'umero
de intervalo de clases y realizar los test pertinentes.
}

\subsection*{Tiempo entre arribos al sistema}
Mediante mediciones del horario de arribo de clientes al sistema, computamos
los intervalos de tiempo entre arribos, y los representamos en el histograma
de la figura 1. Est\'a dividido en 7 intervalos de clase determinados a partir
de la f\'ormula de Sturgess que observamos en la ecuaci\'on 1.1.
\begin{equation}
 k = 1 + 3.3 * Log(n)  \hspace{6cm} 
\end{equation}
donde $k$ es el N$^o$ de intervalos y $n$ es el N$^o$ de muestras.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{histograma_llegadas}
\caption{Histograma de intervalos de tiempo entre arribos de clientes al sistema. Se puede observar que parece provenir de una variable aleatoria con distribuci\'on exponencial.}
\end{center}
\end{figure}

Para determinar si la distribuc\'on de probabilidad del tiempo entre arribos
de clientes al sistema es exponencial, realizamos el test de bondad de ajuste
$\chi^2$. Las hip\'otesis del test son:

\begin{itemize}
 \item {$H_{0}$:} $\chi_{0}^2 < \chi_{n-1,\alpha}$ (Las llegadas de clientes al sistema est\'an exponencialmente distribuidas)
 \item {$H_{1}$:} $\chi_{0}^2 \ge \chi_{n-1,\alpha}$ (Las llegadas de clientes al sistema NO est\'an exponencialmente distribuidas)
\end{itemize}

A partir de las mediciones y de los valores esperados para cada
intervalo de clase, computamos el estad\'istico $\chi_{0}^2 = 10.709$. Como el valor
cr\'itico con un nivel de significaci\'on de 5\% y con 5 grados de libertad resulta 
$\chi_{0.05,5}^2 = 11.07$, rechazamos $H_1$ en favor de $H_0$.\\
Tambi\'en realizamos el test de Kolmogorov-Smirnov sobre las mediciones de los tiempos de arribos, agrupadas en los intervalos 
de clase que mencionamos previamente. Obtenemos el estad\'istico para dichos datos $D =  0,1238$, con un valor cr\'itico para un nivel
de significaci\'on $\alpha = 0.05 \% $, que es  $D_{7,\alpha} = 0.4834$. Luego al ser $D < D_{t, \alpha }$, podemos conclu\'irir que se pasa el test.
Finalmente podemos suponer, habiendo pasado ambos tests, que los arribos de clientes al sistema estan distribuidos exponencialmente, con una tasa media de 18.825.

\subsubsection*{Tasa de servicio de la estaci\'on $E3$}
Analizamos los tiempos de servicio de la estaci\'on $E3$ medidos del sistema, y volcamos
los datos a un histograma (ver figura 2) de 8 intervalos de clase tambi\'en computados
a partir de la f\'ormula de Sturgess.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{histograma_e3}
\caption{Histograma de la medici\'on de los tiempos de servicio del servidor $E3$. Observamos que los datos parecen provenir de una variable aleatoria con distribuci\'on normal.}
\end{center}
\end{figure}

En la figura 2, observamos que los datos parecen provenir de una variable aleatoria con distribuci\'on normal.
Para poder determinar si esto es cierto, realizamos el test estad\'istico $\chi^2$ con las siguientes hip\'otesis:

\begin{itemize}
 \item {$H_{0}$:} $\chi_{0}^2 < \chi_{n-1,\alpha}$ (El tiempo de servicio de la estaci\'on $E3$ es una variable aleatoria con distribuci\'on normal)
 \item {$H_{1}$:} $\chi_{0}^2 \ge \chi_{n-1,\alpha}$ (El tiempo de servicio de la estaci\'on $E3$ NO es una variable aleatoria con distribuci\'on normal)
\end{itemize}

Estimamos la media y la varianza de la distribuci\'on resultando:
\begin{itemize}
 \item {$\mu$ =} $1.995$
 \item {$\sigma^2$ =}  $0.008332$
\end{itemize}

El valor del estad\'istico resulta $\chi_{0}^2 = 4,7492$, y como el valor
cr\'itico es $\chi_{5,0.05}^2 = 11.07$ se rechaza $H_1$ en favor de $H_0$.

\section*{b) Indicar las variables de estado del sistema y el espacio de estado.}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{automata.jpeg}
%	\includegraphics{fluxmed1.jpg}
\caption{Modelo del sistema de renovaci\'on del registro}
	\end{center}
\end{figure}

Considerando el gr\'afico de la figura 3,  definimos el espacio de estados
\begin{align*}
 S =& \{ ( x_R, x_{E_1}, x_{OFT}, x_ {PSF}, x_{E_2}, x_{E_3}, x_{C_1}, x_{C_2}, x_{C_3}, \\
&y_R, y_{E_1}, y_{OFT}, y_ {PSF}, y_{E_2}, y_{E_3}, y_{C_1}, y_{C_2}, y_{C_3} ) / \\
& x_R, x_{E_1}, x_{OFT}, x_ {PSF}, x_{E_2}, x_{E_3}, x_{C_1}, x_{C_2}, x_{C_3} = 1, 2, 3, ...\\
    & \wedge y_R, y_{E_1}, y_{OFT}, y_ {PSF}, y_{E_2}, y_{E_3}, y_{C_1}, y_{C_2}, y_{C_3} =  0, 1  \}
\end{align*}

Donde: \\
 $x_R,$ es la longitud de la cola de recepci\'on.\\
$x_{E_1}$ es la longitud de la cola del servidor E1.\\
$x_{E_2}$ es la longitud del servidor E2.\\
$x_{E_3}$ es la longitud del servidor E3.\\
$ x_{OFT}$ es la longitud de la cola de oftalmolog\'ia.\\
$x_ {PSF}$ es la longitud de la cola del estudio Psico-F\'isico.\\
$x_{C_1}$ es la longitud de la cola de la caja C1.\\
$x_{C_2}$es la longitud de la cola de la caja C2.\\
$x_{C_3},$es la longitud de la cola de la caja C3.\\ \\
\noindent
$y_R,$ Ocupac\'on de la recepci\'on.\\
$y_{E_1}$ Ocupaci\'on de la estaci\'on E1.\\
$y_{E_2}$ Ocupaci\'on de la  estaci\'on E2.\\
$y_{E_3}$ Ocupaci\'on de la  estaci\'on E3.\\
$ y_{OFT}$ Ocupaci\'on de la oficina de oftalmolog\'ia\\
$y_ {PSF}$ Ocupaci\'on de la oficina Psico-Fisica.\\
$y_{C_1}$ Ocupaci\'on de la caja 1.\\
$y_{C_2}$ Ocupaci\'on de la caja 2.\\
$y_{C_3},$ Ocupaci\'on de la caja 3.\\

\section*{c) Indicar los tipos de eventos y el espacio de eventos.}
El espacio de eventos del sistema lo definimos como:\\
\begin{equation*}
E = \{ A, B, r_1, e_3, oft, psf, e_2, e_{1, oft}, e_{1, psf}, c_1, c_2, c_3, e_{c1,e2}, e_{c2,e2}, e_{c3, e2} \}
\end{equation*}

Donde:\\
A es la entrada de una persona a $R$.\\
B es la partida de una persona del sistema. \\
$r_1$ es la partida de una persona desde $R$ hacia  $E_1$\\
$e_3$ es la partida de una parsona de $E_1$ hacia $E_3$ \\
$oft$ es la partida de una persona de $E_3$ hacia $OFT$\\
$psf$ es la partida de una persona de $OFT$ hacia $PSF$.\\
$e_2$ es la partida de una persona de $OFT$ hacia $E_2$.\\
$e_{1, oft}, e_{1, psf} $ son las partidas desde $OFT$ o de $PSF$ hacia $E_1$\\
$c_1, c_2, c_3$ son las partidas desde $E_2$ hacia las cajas 1, 2 o 3.\\
$e_{c1,e2}, e_{c2,e2}, e_{c3, e2} $ son las partidas de $C1, C2 o C3 $ realimentadas en $E_2$.\\





\section*{d)      Realizar una simulaci\'on indicando las condiciones iniciales, el tipo de generador usado y
la semilla. Mostrar las g\'aficas de las colas en cada estaci\'on.
}

\section*{e)     Realizar 10 simulaciones independientes. Hallar el tiempo medio por cliente en el sistema,
suponiendo que las tres cajas C1, C2 y C3 est\'an operativas mostrar los resultados convenien-
temente en una tabla. Computar con estos resulatados el estimador del tiempo medio por
cliente y su error.
}
\section*{f)    Si la probabilidad de que la caja C3 est\'e operativa es p, computar el tiempo medio por
cliente en el sistema en funci\'on de p. Graficar.
}
\section*{g)   Computar la probabilidad de que el tiempo medio de espera en la cola de OFT sea mayor
a 5 minutos
}

La variable aleatoria $OFT$ tiene distribuci\'on exponencial con tiempo medio de 3.5 minutos. Para determinar la probabilidad de que el tiempo medio
de espera sea mayor a 5 minutos la obtenemos a trav\'es de las ecuaciones XXXXXXXXXXX

\begin{equation}
 P( OFT > 5 ) = 1 - P( OFT \leq 5 )
\end{equation}
entonces:
\begin{equation}
P(OFT > 5 ) = 1 - ( 1 - e^{- \frac{1}{3.5}5} )
\end{equation}
Finalmente la probabilidad resulta:
\begin{equation}
 P( OFT > 5 ) = 0.2397
\end{equation}


\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{IEEhowto:kopka}
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla\_de\_Sturgess
\end{thebibliography}


\end{document}

